gondolkodni öröm
Tétel
Minden alulról és felülről is korlátos, egymástól különböző, végtelen sok számból álló divergens sorozatnak, van konvergens részsorozata.
Bizonyítás
A síkban, kijelölünk egy pontot, ez a pont a felső korlátot jelöli.
A pontra egy egyenest illesztünk.
A kijelölt pont alatt kijelölünk egy második pontot ez az alsó korlátot jelöli.
Erre a pontra is illesztünk egy egyenest, amelyik párhuzamos a felette lévő egyenessel. (párhuzamossági axióma)
A két egyenes közötti sávban a divergens sorozat elemeinek pontokat feleltethetünk meg. A pontoknak az alsó korlátot tartalmazó egyenestől mért távolságaik az elemek értékeinek felelnek meg. Bejelöljük a sorozat első elemét, mellette a következőt, és így tovább a végtelenségig.
x felső korlát ->
x
x
x
_________________....___________x__->
x________________....______________->
____x____________....______________->
x alsó korlát ->
Az alsó egyeneshez legközelebbi pontra egyenest illesztünk, amelyik párhuzamos a legalsó egyenessel.
Ehhez az egyeshez az egyenes fölötti sávban ismét lesz egy legközelebbi pont, amire ismét párhuzamos egyenest illesztünk, ami fölött ismét lesz legközelebbi pont, és így tovább a végtelenségig.
A pontokat amelyekre párhuzamosakat illesztettünk, alulról fölfelé haladva, egy törött vonallal összeköthetjük. A pontok szigorúan növekvő sorozatot alkotnak. Végül is, a divergens sorozatnak egy végtelen sok elemből álló részhalmazát, a törött vonal mentén szigorúan növekvő sorozatba rendeztük.
Ezért
Minden alulról és felülről is korlátos, egymástól különböző, végtelen sok számból álló divergens sorozatnak, van konvergens részsorozata.
Tanulság
Végül is, összeszedhetjük magunkat!
